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Beschreibung
Lizenz
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Konstruktion
(Siehe hierzu auch die Animation)
Neuneck (Nonagon) bei gegebenem Umkreis mit Winkeldreiteilung, Näherungskonstruktion als Animation, 36 Schritte bis Seitenlänge
a
{\displaystyle a}
Neuneck (Nonagon) bei gegebenem Umkreis mit Winkeldreiteilung, Näherungskonstruktion als Animation, 36 Schritte bis Seitenlänge
a
{\displaystyle a}
Kreis
k
1
{\displaystyle k_{1}}
mit beliebigem Radius
r
=
O
A
¯
{\displaystyle r={\overline {OA}}}
um Mittelpunkt
O
.
{\displaystyle O.}
Winkelschenkel
O
A
¯
{\displaystyle {\overline {OA}}}
und Winkelschenkel
O
B
¯
{\displaystyle {\overline {OB}}}
schließen den Winkel
α
=
60
∘
{\displaystyle \alpha =60^{\circ }}
im Scheitel
O
{\displaystyle O}
ein.
Kreis
k
2
{\displaystyle k_{2}}
um
O
{\displaystyle O}
mit Radius
O
C
¯
=
1
3
O
A
¯
{\displaystyle {\overline {OC}}={\tfrac {1}{3}}{\overline {OA}}}
; die Verlängerung des Winkelschenkels
B
O
¯
{\displaystyle {\overline {BO}}}
schneidet Kreis
k
2
{\displaystyle k_{2}}
in
D
.
{\displaystyle D.}
Durchmesser
E
F
¯
{\displaystyle {\overline {EF}}}
des Kreises
k
2
{\displaystyle k_{2}}
mit
∠
E
O
A
=
45
∘
.
{\displaystyle \angle {EOA=45^{\circ }}.}
Bestimme Punkt
G
{\displaystyle G}
auf Kreis
k
2
{\displaystyle k_{2}}
so, dass
|
E
G
|
=
E
O
¯
.
{\displaystyle |EG|={\overline {EO}}.}
Strecke
O
F
¯
{\displaystyle {\overline {OF}}}
in
H
{\displaystyle H}
halbieren, die anschließende, nicht eingezeichnete, Mittelsenkrechte von
|
G
H
|
{\displaystyle |GH|}
schneidet
O
E
¯
{\displaystyle {\overline {OE}}}
in
I
,
{\displaystyle I,}
ergibt
|
I
G
|
=
I
H
¯
.
{\displaystyle |IG|={\overline {IH}}.}
Linie durch
E
{\displaystyle E}
und
D
{\displaystyle D}
; deren Enden liegen nahe am Kreis
k
1
.
{\displaystyle k_{1}.}
Parallele zu
E
D
¯
{\displaystyle {\overline {ED}}}
ab
I
{\displaystyle I}
erreicht Kreis
k
2
{\displaystyle k_{2}}
in
J
.
{\displaystyle J.}
Bestimme Punkt
K
{\displaystyle K}
mithilfe eines nicht eingezeichneten Kreisbogens (Radius
|
J
E
|
{\displaystyle |JE|}
um
J
{\displaystyle J}
, auf Linie durch
E
{\displaystyle E}
und
D
{\displaystyle D}
so, dass
J
K
¯
=
|
J
E
|
.
{\displaystyle {\overline {JK}}=|JE|.}
Linie ab
J
{\displaystyle J}
durch
K
{\displaystyle K}
erreicht Kreis
k
1
{\displaystyle k_{1}}
in
L
,
{\displaystyle L,}
anschließend Linie ab
L
{\displaystyle L}
bis
O
.
{\displaystyle O.}
Hinweis: Die Punkte
K
{\displaystyle K}
und
J
{\displaystyle J}
liegen nicht auf der Strecke
L
O
¯
.
{\displaystyle {\overline {LO}}.}
Parallele zu
L
O
¯
{\displaystyle {\overline {LO}}}
ab
D
{\displaystyle D}
erreicht Kreis
k
2
{\displaystyle k_{2}}
in
M
.
{\displaystyle M.}
Bestimme Punkt
N
{\displaystyle N}
mithilfe eines nicht eingezeichneten Kreisbogens (Radius
M
D
¯
{\displaystyle {\overline {MD}}}
) um
M
{\displaystyle M}
, auf Linie durch
E
{\displaystyle E}
und
D
{\displaystyle D}
so, dass die werdende Strecke
M
N
¯
=
M
D
¯
.
{\displaystyle {\overline {MN}}={\overline {MD}}.}
Linie ab
M
{\displaystyle M}
durch
N
{\displaystyle N}
erreicht Kreis
k
1
{\displaystyle k_{1}}
in
P
.
{\displaystyle P.}
Bestimme Punkt
Q
{\displaystyle Q}
so, dass Winkel
P
O
Q
=
30
∘
.
{\displaystyle POQ=30^{\circ }.}
Bestimme Punkt
R
{\displaystyle R}
durch Verdoppelung des Kreisbogens
O
A
Q
{\displaystyle OAQ}
und verbinde
O
{\displaystyle O}
mit
R
.
{\displaystyle R.}
Der konstruierte Winkel
A
O
R
=
β
{\displaystyle AOR=\beta }
ist nahezu gleich zwei Drittel des Winkels
α
=
60
∘
{\displaystyle \alpha =60^{\circ }}
, d. h. nahezu
40
∘
.
{\displaystyle 40^{\circ }.}
Ergebnis, bezogen auf den Einheitskreis r = 1 [LE]
In GeoGebra werden max. 15 Nachkommastellen angezeigt.
in GeoGebra konstruierte Seitenlänge
a
=
0,684
040286651337
[
L
E
]
−
Sollwert
−
a
S
O
L
L
=
−
0,684
040286651337
…
[
L
E
]
absoluter Fehler in GeoGebra nicht evaluierbar
F
=
0,000
000000000000
…
[
L
E
]
{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\text{in GeoGebra konstruierte Seitenlänge}}\qquad a&=&&0{,}684040286651337\;[\mathrm {LE} ]\\-{\text{Sollwert }}\qquad -a_{SOLL}&=-&&0{,}684040286651337\dots \;[\mathrm {LE} ]\\\hline {\text{absoluter Fehler in GeoGebra nicht evaluierbar }}\qquad F&=&&0{,}000000000000000\dots \;[\mathrm {LE} ]\end{alignedat}}}
Beispiel zur Verdeutlichung des Fehlers
Bei einem Radius r = 1 Mrd. km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 56 min) wäre der Fehler der konstruierten Seitenlänge a des Neunecks < 1 mm .
Construction
(See also the animation)
Nonagon for a given circumcircle with angular trisection, approximation construction as animation, 36 steps up to side length
a
{\displaystyle a}
.
Nonagon for a given circumcircle with angular trisection, approximation construction as animation, 36 steps up to side length
a
{\displaystyle a}
.
Circle
k
1
{\displaystyle k_{1}}
with any radius
r
=
O
A
¯
{\displaystyle r={\overline {OA}}}
around centre
O
.
{\displaystyle O.}
Angle leg
O
A
¯
{\displaystyle {\overline {OA}}}
and angle leg
O
B
¯
{\displaystyle {\overline {OB}}}
enclose angle
α
=
60
∘
{\displaystyle \alpha =60^{\circ }}
at vertex
O
{\displaystyle O}
.
Circle
k
2
{\displaystyle k_{2}}
around
O
{\displaystyle O}
with radius
O
C
¯
=
1
3
O
A
¯
{\displaystyle {\overline {OC}}={\tfrac {1}{3}}{\overline {OA}}}
; the extension of the angle leg
B
O
¯
{\displaystyle {\overline {BO}}}
intersects circle
k
2
{\displaystyle k_{2}}
in
D
.
{\displaystyle D.}
.
Diameter
E
F
¯
{\displaystyle {\overline {EF}}}
of circle
k
2
{\displaystyle k_{2}}
with
∠
E
O
A
=
45
∘
.
{\displaystyle \angle {EOA=45^{\circ }}.}
Determine point
G
{\displaystyle G}
on circle
k
2
{\displaystyle k_{2}}
such that
|
E
G
|
=
E
O
¯
.
{\displaystyle |EG|={\overline {EO}}.}
Bisect the line segment
O
F
¯
{\displaystyle {\overline {OF}}}
in
H
{\displaystyle H}
, the subsequent, not drawn, median perpendicular of
|
G
H
|
{\displaystyle |GH|}
intersects
O
E
¯
{\displaystyle {\overline {OE}}}
in
I
,
{\displaystyle I,}
gives
|
I
G
|
=
I
H
¯
.
{\displaystyle |IG|={\overline {IH}}.}
Line through
E
{\displaystyle E}
and
D
{\displaystyle D}
; their ends are close to circle
k
1
.
{\displaystyle k_{1}.}
.
Parallel to
E
D
¯
{\displaystyle {\overline {ED}}}
from
I
{\displaystyle I}
reaches circle
k
2
{\displaystyle k_{2}}
in
J
.
{\displaystyle J.}
Determine point
K
{\displaystyle K}
using an undrawn arc of a circle (radius
|
J
E
|
{\displaystyle |JE|}
around
J
{\displaystyle J}
, on the line through
E
{\displaystyle E}
and
D
{\displaystyle D}
such that
J
K
¯
=
|
J
E
|
.
{\displaystyle {\overline {JK}}=|JE|.}
Line from
J
{\displaystyle J}
through
K
{\displaystyle K}
reaches circle
k
1
{\displaystyle k_{1}}
in
L
,
{\displaystyle L,}
then line from
L
{\displaystyle L}
to
O
.
{\displaystyle O.}
Note: The points
K
{\displaystyle K}
and
J
{\displaystyle J}
are not on the line
L
O
¯
.
{\displaystyle {\overline {LO}}.}
Parallel to
L
O
¯
{\displaystyle {\overline {LO}}}
from
D
{\displaystyle D}
reaches circle
k
2
{\displaystyle k_{2}}
in
M
.
{\displaystyle M.}
Determine point
N
{\displaystyle N}
using an undrawn arc of a circle (radius
M
D
¯
{\displaystyle {\overline {MD}}}
) around
M
{\displaystyle M}
, on the line through
E
{\displaystyle E}
and
D
{\displaystyle D}
such that the becoming distance is
M
N
¯
=
M
D
¯
.
{\displaystyle {\overline {MN}}={\overline {MD}}.}
Line from
M
{\displaystyle M}
through
N
{\displaystyle N}
reaches circle
k
1
{\displaystyle k_{1}}
in
P
.
{\displaystyle P.}
Determine point
Q
{\displaystyle Q}
such that angle
P
O
Q
=
30
∘
.
{\displaystyle POQ=30^{\circ }.}
Determine point
R
{\displaystyle R}
by doubling arc of a circle
O
A
Q
{\displaystyle OAQ}
and connect
O
{\displaystyle O}
with
R
.
{\displaystyle R.}
The constructed angle
A
O
R
=
β
{\displaystyle AOR=\beta }
is nearly equal to two thirds of the angle
α
=
60
∘
{\displaystyle \alpha =60^{\circ }}
, i.e. nearly
40
∘
.
{\displaystyle 40^{\circ }.}
Result, related to the unit circle r = 1 [LE]
In GeoGebra , max. 15 decimal places are displayed.
side length constructed in GeoGebra
a
=
0.684040286651337
[
L
E
]
−
setpoint
−
a
s
e
t
p
o
i
n
t
=
−
0.684040286651337
…
[
L
E
]
absolute error in GeoGebra cannot be evaluated
F
=
0.000000000000000
…
[
L
E
]
{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\text{side length constructed in GeoGebra}}\qquad a&=&&0.684040286651337\;[\mathrm {LE} ]\\-{\text{setpoint}}\qquad -a_{setpoint}&=-&&0.684040286651337\dots \;[\mathrm {LE} ]\\\hline {\text{absolute error in GeoGebra cannot be evaluated }}\qquad F&=&&0.000000000000000\dots \;[\mathrm {LE} ]\end{alignedat}}}
Example to illustrate the error
For a radius r = 1 billion km (the light would need approx. 56 min for this distance) the error of the constructed side length a of the neuneck would be < 1 mm . Deutsch Ergänze eine einzeilige Erklärung, was diese Datei darstellt.
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