Christoffelsymbole

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In der Differentialgeometrie sind die Christoffelsymbole, nach Elwin Bruno Christoffel (1829–1900), Hilfsgrößen zur Beschreibung der kovarianten Ableitung auf Mannigfaltigkeiten. Sie geben an, um wie viel sich Vektorkomponenten bei der Parallelverschiebung entlang einer Kurve ändern. In älterer Literatur findet sich auch die Bezeichnung Christoffel’sche Dreizeigersymbole (erster und zweiter Art).[1]

Im euklidischen Vektorraum sind die Christoffelsymbole die Komponenten der Gradienten der ko- und kontravarianten Basisvektoren eines krummlinigen Koordinatensystems.[2] In der allgemeinen Relativitätstheorie dienen die Christoffelsymbole zur Herleitung des Riemannschen Krümmungstensors.

Christoffelsymbole einer Fläche

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In der klassischen Differentialgeometrie wurden die Christoffelsymbole erstmals für gekrümmte Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum definiert. Sei also eine orientierte reguläre Fläche und eine Parametrisierung von . Die Vektoren und bilden eine Basis der Tangentialebene , und mit wird der Normalenvektor zur Tangentialebene bezeichnet. So bilden die Vektoren eine Basis des . Die Christoffelsymbole , werden bezüglich der Parametrisierung dann durch das folgende Gleichungssystem definiert:

Schreibt man für , für und für , für und für , so lassen sich die definierenden Gleichungen zusammenfassend als

schreiben. Aufgrund des Satzes von Schwarz gilt , das heißt, , und daraus folgt die Symmetrie der Christoffelsymbole, das heißt und . Die Koeffizienten , und sind die Koeffizienten der zweiten Fundamentalform.

Ist eine Kurve bezüglich der gaußschen Parameterdarstellung , so ist der tangentiale Anteil ihrer zweiten Ableitung durch

gegeben. Durch Lösen des Differentialgleichungssystems findet man also die Geodäten auf der Fläche.

Allgemeine Definition

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Die im vorigen Abschnitt definierten Christoffelsymbole kann man auf Mannigfaltigkeiten verallgemeinern. Sei also eine -dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einem Zusammenhang . Bezüglich einer Karte erhält man mittels eine Basis des Tangentialraums und somit auch ein lokales Reper (Basisfeld) des Tangentialbündels. Für alle Indizes und sind dann die Christoffelsymbole durch

definiert. Die Symbole bilden also ein System von Funktionen, welche vom Punkt der Mannigfaltigkeit abhängen (dieses System bildet aber keinen Tensor, s. u.).

Man kann die Christoffelsymbole auch für ein n-Bein, d. h. eine lokale Basis die nicht unmittelbar durch eine Karte festgelegt wird, gemäß

definieren, wobei hier und im Folgenden die Summenzeichen gemäß der Einsteinschen Summenkonvention weggelassen werden.

Kovariante Ableitung von Vektorfeldern

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Im Folgenden bezeichnet, genauso wie im vorigen Abschnitt, einen lokalen Rahmen, welcher durch eine Karte induziert wird, und einen beliebigen lokalen Rahmen.

Seien Vektorfelder mit den in lokalen Darstellungen und . Dann gilt für die kovariante Ableitung von in Richtung von :

Dabei bezeichnet die Anwendung der Derivation auf die Komponentenfunktion .

Wählt man einen lokalen Rahmen , der von einer Karte induziert wird, und wählt man für das Vektorfeld speziell das Basisvektorfeld , so erhält man

bzw. für die -te Komponente

Im Indexkalkül für Tensoren schreibt man dafür auch oder , während man die partielle Ableitung als bezeichnet. Es ist bei aber zu beachten, dass hier nicht nur die Komponente abgeleitet wird, sondern dass es sich um die -te Komponente der kovarianten Ableitung des gesamten Vektorfelds handelt. Obige Gleichung schreibt sich dann als

bzw.

Wählt man für und den Tangentialvektor einer Kurve und ist eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit, so hat die gleiche lokale Darstellung bezüglich der Christoffelsymbole wie aus dem ersten Abschnitt.

Christoffelsymbole bei riemannschen und pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeiten

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Sei eine riemannsche oder pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit und der Levi-Civita-Zusammenhang. Der lokale Rahmen sei der durch eine Karte induzierte .

Hier kann man die Christoffelsymbole durch

aus dem metrischen Tensor gewinnen,[3][4] wobei, wie in der Allgemeinen Relativitätstheorie üblich, griechische Buchstaben für die Raumzeit-Indizes benutzt wurden. In diesem Fall sind die Christoffelsymbole symmetrisch, das heißt, es gilt für alle und . Diese Christoffelsymbole nennt man auch Christoffelsymbole zweiter Art.

Als Christoffelsymbole erster Art werden die Ausdrücke

bezeichnet.

Ältere, besonders in der Allgemeinen Relativitätstheorie verwendete Notationen sind für die Christoffelsymbole erster Art

sowie für die Christoffelsymbole zweiter Art

Anwendung auf Tensorfelder

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Die kovariante Ableitung kann von Vektorfeldern auf beliebige Tensorfelder verallgemeinert werden. Auch hier treten in der Koordinatendarstellung die Christoffelsymbole auf. In diesem Abschnitt wird durchgehend der oben beschriebene Indexkalkül verwendet. Wie in der Relativitätstheorie üblich, werden die Indizes mit griechischen Kleinbuchstaben bezeichnet.

Die kovariante Ableitung eines Skalarfeldes ist

Die kovariante Ableitung eines Vektorfeldes ist

und bei einem Kovektorfeld, also einem (0,1)-Tensorfeld erhält man

Die kovariante Ableitung eines (2,0)-Tensorfeldes ist

Bei einem (1,1)-Tensorfeld lautet sie

und für ein (0,2)-Tensorfeld erhält man

Erst die hier auftretenden Summen bzw. Differenzen, nicht aber die Christoffelsymbole selbst, besitzen die Tensoreigenschaften (z. B. das korrekte Transformationsverhalten).

Einzelnachweise

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  1. Karl Strubecker: Differentialgeometrie, Band 2, S. 204 ff.
  2. Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik, Band 1 S. 313 ff.
  3. Eric Weisstein: Christoffel Symbols of the Second Kind (Wolfram Mathworld)
  4. Bruce Kusse, Erik Westwig: Christoffel Symbols and covariant derivatives (Seite 5, Formel F.24)
  • Wolfgang Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik. Tensoralgebra und Tensoranalysis. Band 1. Springer Vieweg Verlag, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-25271-7, S. 313 ff., doi:10.1007/978-3-658-25272-4.
  • Wolfgang Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik. Tensoren in Mathematik und Physik. Band 2. Springer Vieweg Verlag, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-25279-3, doi:10.1007/978-3-658-25280-9.
  • Manfredo Perdigão do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall Inc., Upper Saddle River NJ 1976, ISBN 0-13-212589-7.
  • Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry. Birkhäuser, Boston u. a. 1992, ISBN 0-8176-3490-8.
  • John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature (= Graduate Texts in Mathematics. 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8.