Kurvenintegral

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Das Kurven-, Linien-, Weg- oder Konturintegral erweitert den gewöhnlichen Integralbegriff für die Integration in der komplexen Ebene (Funktionentheorie) oder im mehrdimensionalen Raum (Vektoranalysis).

Den Weg, die Linie oder die Kurve, über die integriert wird, nennt man den Integrationsweg.

Wegintegrale über geschlossene Kurven werden auch als Ringintegral, Umlaufintegral[1] oder Zirkulation bezeichnet und mit dem Symbol geschrieben.

Reelle Wegintegrale

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Wegintegral erster Art

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Illustration eines Kurvenintegrals erster Art über ein Skalarfeld

Das Wegintegral einer stetigen Funktion

entlang eines stückweise stetig differenzierbaren Weges

ist definiert als

Dabei bezeichnet die Ableitung von nach und die euklidische Norm des Vektors .

Die Bildmenge ist eine stückweise glatte Kurve in .

  • Ein Beispiel für eine solche Funktion ist ein Skalarfeld mit kartesischen Koordinaten.
  • Ein Weg kann eine Kurve entweder als Ganzes oder auch nur in Abschnitten mehrfach durchlaufen.
  • Für ergibt das Wegintegral erster Art die Länge des Weges .
  • Der Weg bildet u. a. auf den Anfangspunkt der Kurve ab und auf deren Endpunkt.
  • ist ein Element der Definitionsmenge von und steht allgemein nicht für die Zeit. ist das zugehörige Differential.

Wegintegral zweiter Art

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Illustration eines Kurvenintegrals zweiter Art über ein Vektorfeld

Das Wegintegral über ein stetiges Vektorfeld

mit einer ebenfalls so parametrisierten Kurve ist definiert als das Integral über das Skalarprodukt aus und :

Einfluss der Parametrisierung

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Sind und einfache (d. h., und sind injektiv) Wege mit und und demselben Bild, parametrisieren sie also dieselbe Kurve in derselben Richtung und durchlaufen sie die Kurve (bis auf Doppelpunkte) genau einmal, so stimmen die Integrale entlang und überein. Dies rechtfertigt den Namen Kurvenintegral; ist die Integrationsrichtung aus dem Kontext ersichtlich oder irrelevant, kann der Weg in der Notation unterdrückt werden.

Kurvenintegrale

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Da eine Kurve das Bild eines Weges ist, entsprechen die Definitionen der Kurvenintegrale im Wesentlichen den Wegintegralen.

Kurvenintegral 1. Art:

Kurvenintegral 2. Art:

Ein Spezialfall ist wieder die Länge der durch parametrisierten Kurve :

Wegelement und Längenelement

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Der in den Kurvenintegralen erster Art auftretende Ausdruck

heißt skalares Wegelement oder Längenelement. Der in den Kurvenintegralen zweiter Art auftretende Ausdruck

heißt vektorielles Wegelement.

Seien , Kurvenintegrale gleicher Art (also entweder beide erster oder beide zweiter Art), sei das Urbild der beiden Funktionen und von gleicher Dimension und sei . Dann gelten für , und die folgenden Rechenregeln:

  •    (Linearität)
  •    (Zerlegungsadditivität)

Notation für Kurvenintegrale von geschlossenen Kurven

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Ist ein geschlossener Weg, so schreibt man

statt auch

und analog für geschlossene Kurven

statt auch .

Mit dem Kreis im Integral möchte man deutlich machen, dass geschlossen ist. Der einzige Unterschied liegt hierbei in der Notation.

  • Ist der Graph einer Funktion , so wird diese Kurve durch den Weg
parametrisiert. Wegen
ist die Länge der Kurve gleich
  • Eine Ellipse mit großer Halbachse und kleiner Halbachse wird durch für parametrisiert. Ihr Umfang ist also
.
Dabei bezeichnet die numerische Exzentrizität der Ellipse. Das Integral auf der rechten Seite wird aufgrund dieses Zusammenhanges als elliptisches Integral bezeichnet.

Wegunabhängigkeit

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Ist ein Vektorfeld ein Gradientenfeld, d. h., ist der Gradient eines skalaren Feldes , mit

,

so gilt für die Ableitung der Verkettung von und

,

was gerade dem Integranden des Wegintegrals über auf entspricht. Daraus folgt für eine gegebene Kurve

Zwei beliebige Kurven und in einem Gradientenfeld

Dies bedeutet, dass das Integral von über ausschließlich von den Punkten und abhängt und der Weg dazwischen irrelevant für das Ergebnis ist. Aus diesem Grund wird das Integral eines Gradientenfeldes als „wegunabhängig“ bezeichnet.

Insbesondere gilt für das Ringintegral über die geschlossene Kurve mit zwei beliebigen Wegen und :

Dies ist insbesondere in der Physik von großer Bedeutung, da beispielsweise die Gravitation diese Eigenschaften besitzt. Da die Energie in diesen Kraftfeldern stets eine Erhaltungsgröße ist, werden sie in der Physik als konservative Kraftfelder bezeichnet. Das skalare Feld ist dabei das Potential oder die potentielle Energie. Konservative Kraftfelder erhalten die mechanische Energie, d. i. die Summe aus kinetischer Energie und potentieller Energie. Gemäß dem obigen Integral wird auf einer geschlossenen Kurve insgesamt eine Arbeit von 0 J aufgebracht.

Wegunabhängigkeit lässt sich auch mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung zeigen.

Die Kurve umläuft das Zentrum zweimal

Ist das Vektorfeld nur in einer (kleinen) Umgebung eines Punktes nicht als Gradientenfeld darstellbar, so ist das geschlossene Wegintegral von Kurven außerhalb von proportional zur Windungszahl um diesen Punkt und ansonsten unabhängig vom genauen Verlauf der Kurve (siehe Algebraische Topologie: Methodik).

Komplexe Wegintegrale

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Ist eine komplexwertige Funktion, dann nennt man integrierbar, wenn und integrierbar sind. Man definiert

.

Das Integral ist damit -linear. Ist im Intervall stetig und eine Stammfunktion von , so gilt wie im Reellen

.

Der Integralbegriff wird nun auf die komplexe Ebene wie folgt erweitert: Ist eine komplexwertige Funktion auf einem Gebiet , und ist ein stückweise stetig differenzierbarer Weg in , so ist das Wegintegral von entlang des Weges definiert als

Der Malpunkt bezeichnet hier komplexe Multiplikation.

Die zentrale Aussage über Wegintegrale komplexer Funktionen ist der Cauchysche Integralsatz: Für eine holomorphe Funktion hängt das Wegintegral nur von der Homotopieklasse von ab. Ist einfach zusammenhängend, so hängt das Integral also überhaupt nicht von , sondern nur von Anfangs- und Endpunkt ab.

Analog zum reellen Fall definiert man die Länge des Weges durch

.

Für theoretische Zwecke ist folgende Ungleichung, die Standardabschätzung, von besonderem Interesse:

, wenn für alle gilt.

Wie im reellen Fall ist das Wegintegral unabhängig von der Parametrisierung des Weges , d. h., es ist nicht zwingend notwendig, als Parameterbereich zu wählen, wie sich durch Substitution zeigen lässt. Dies erlaubt die Definition komplexer Kurvenintegrale, indem man den obigen Formeln den Weg durch eine Kurve in ersetzt.

  • Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 2. 1981, 5. Auflage, Teubner 1990, ISBN 3-519-42222-0. S. 369, Satz 180.1; S. 391, Satz 184.1; S. 393, Satz 185.1.
Wiktionary: Kurvenintegral – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

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  1. Klaus Knothe, Heribert Wessels: Finite Elemente. Eine Einführung für Ingenieure. 3. Auflage. 1999, ISBN 3-540-64491-1, S. 524.