Stockinger gab sein internationales Renndebüt am 9. November 2015 bei einem Juniorenrennen in Solda. Sein erstes internationales Großereignis bestritt er drei Monate später bei den Olympischen Jugend-Winterspielen 2016 in Lillehammer. Gemeinsam mit Lucia Rispler gewann er die Goldmedaille im Mannschaftswettbewerb. Zudem belegte er den 9. Rang im Slalom.
In den darauffolgenden Jahren startete Stockinger hauptsächlich bei FIS-Rennen im deutschsprachigen Raum sowie vereinzelt im Europacup. Bei seinen ersten Juniorenweltmeisterschaften im Jahr 2019 in Val di Fassa erreichte er Platz 9 im Riesenslalom. Bei den deutschen Meisterschaften desselben Jahres gewann er mit Bronze seine erste nationale Medaille.
Zum Abschluss der Saison 2022/23 gewann Stockinger seinen ersten deutschen Meistertitel im Riesenslalom.
Seinen bisher größten Karriereerfolg feierte er schließlich in der Europacupsaison 2023/24. Durch eine äußerst konstante Saisonleistung konnte er, obwohl er nur zwei Podestplätze erreichte, die Riesenslalomwertung für sich entscheiden. Dadurch erhielt er einen Startplatz für die Weltcupsaison 2024/25 außerhalb des Nationenkontigents.
Ebenfalls im Winter 2023/24 erreichte Stockinger seine ersten Weltcuppunkte. Beim Riesenslalom am Chuenisbärgli in Adelboden belegte er Platz 28. Auch gelang es ihm seinen deutschen Meistertitel im Riesenslalom zu verteidigen.[1]
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