Augapfel-Satz

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Der Augapfelsatz (englisch: Eyeball Theorem) beinhaltet die Längengleichheit von Sehnen in zwei sich nicht schneidenden Kreisen.[1]

Der Name rührt daher, dass die beiden Kreise als Augäpfel mit gleich großen Bildern gedeutet werden.[2][3] Entdeckt wurde der Satz 1960 von dem peruanischen Mathematiker Antonio Gutierrez.[4] Allerdings war die Aussage inklusive eines Beweises aber ohne einen Namen bereits 1938 in einem Artikel von G. W. Evans in der Zeitschrift The Mathematics Teacher publiziert worden.[5] Evans bemerkte zudem, dass die Aussage als Problem formuliert aus einer früheren Examensprüfung stamme.[6]

Mathematische Aussage

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Unter den Voraussetzungen, dass

  • zwei sich nicht schneidende Kreise die Mittelpunkte und haben,
  • die beiden Tangenten durch an den Kreis mit dem Mittelpunkt den Kreis um in den Punkten und schneiden und
  • die beiden Tangenten durch an den Kreis mit dem Mittelpunkt den Kreis um in den Punkten und schneiden,

sind die Sehnen und längengleich.

Beweis:

Da die Gesamtfigur achsensymmetrisch zur Geraden durch und ist, genügt mit und der Nachweis von .
Das große grün gefärbte Dreieck ist im geometrischen Sinne ähnlich zu dem kleinen mit dunklerem Grün gefärbten Dreieck, weil beide Dreiecke in zwei Innenwinkeln übereinstimmen, nämlich in dem gemeinsamen Winkel und jeweils einem rechten Winkel.
Deshalb gilt mit den Bezeichnungen aus nebenstehender Zeichnung die Verhältnisgleichung und damit .
Das große blau gefärbte Dreieck ist im geometrischen Sinne ähnlich zu dem kleinen mit dunklerem Blau gefärbten Dreieck, weil beide Dreiecke in zwei Innenwinkeln übereinstimmen, nämlich in dem gemeinsamen Winkel und jeweils einem rechten Winkel.
Deshalb gilt die Verhältnisgleichung und damit .
Folglich gilt .[7]
  • Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45461-9, S. 131–132
  • Antonio Gutierrez: Eyeball theorems. In: Chris Pritchard (Hrsg.): The Changing Shape of Geometry. Celebrating a Century of Geometry and Geometry Teaching. Cambridge University Press, 2003, ISBN 9780521531627, S. 274–280
Commons: Augapfelsatz – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

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  1. Eyeball Theorem Wolfram Math World, abgerufen am 29. September 2022
  2. Zweikreisfiguren aus mathematische-basteleien.de, abgerufen am 29. September 2022
  3. David Acheson: Das Wunder der Geometrie, Anaconda-Verlag (2022), Seite 133
  4. David Acheson: The Wonder Book of Geometry. Oxford University Press, 2020, ISBN 9780198846383, S. 141–142
  5. Emmanuel Antonio José García: A Variant of the Eyeball Theorem. In: The College Mathematics Journal, Band 53, 2022 - Ausgabe 2, S. 147–148
  6. George W. Evans: Ratio as a Multiplier. In: The Mathematics Teacher, Band 31, Nr. 3 (März 1938), S. 114–116 (JSTOR)
  7. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, Seiten 130 und 131