Cevasche Strecken

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Cevasche Strecken (rot, grün, blau)

Die Cevaschen Strecken sind benannt nach dem italienischen Mathematiker Giovanni Ceva. Sie schneiden sich in einem Punkt im Innern eines Dreiecks und verbinden jeden seiner Eckpunkte mit einem Punkt der jeweils gegenüberliegenden Dreiecksseite.

Es sei ein beliebiger Punkt im Innern eines Dreiecks . Die Geraden durch und bzw. und bzw. und schneiden die jeweils gegenüberliegenden Dreiecksseiten in den Punkten bzw. bzw. .

Dann heißen , und Cevasche Strecken.

Beziehung von Streckenabschnitten zur längsten Dreiecksseite

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Planfigur zu Satz 1
Abschnitte der Cevaschen Strecken (rot) und längste Dreiecksseite (blau)

Satz 1

Ist die längste Seite eines Dreiecks, so ist die Gesamtlänge der von ausgehenden und zu einem Punkt der jeweils gegenüberliegenden Dreiecksseite führenden Streckenabschnitte der drei Cevaschen Strecken stets kleiner als die Länge der Dreiecksseite .

Beweis

Die längste Dreiecksseite ist offenbar länger als jede der drei Cevaschen Strecken , und .

Die Strecken bzw. seien parallel zu den Dreiecksseiten , bzw. . Dann sind die Dreiecke und ähnlich zueinander, da sie nach dem Satz über Winkel an parallelen Geraden in zwei Innenwinkeln übereinstimmen. Aus dieser Ähnlichkeit folgt, dass die längste Seite des Dreiecks ist, da die längste Seite des Dreiecks ist.

Damit gilt auch . (1)

Die Strecken bzw. seien parallel zu den Strecken bzw. . Dann sind die Dreiecke und ähnlich zueinander, da sie nach dem Satz über Winkel an Parallelen in zwei Winkeln übereinstimmen. Aus dieser Ähnlichkeit folgt, dass die längste Seite des Dreiecks ist, da die längste Seite des Dreiecks ist.

Damit gilt auch . (2)

Analog lässt sich zeigen:

. (3)

Durch Addition auf den jeweils beiden Seiten der drei Ungleichungen (1), (2) und (3) erhält man: .

Beziehung zwischen Streckenabschnitten und Cevascher Strecke

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Planfigur zu Satz 2
Abschnitte der Cevaschen Strecken (rot) und Cevasche Strecke CC' (blau)

Satz 2

Ist von den drei Cevaschen Strecken , und die Strecke

  • die kürzeste, so gilt: ,
  • die längste, so gilt: .

Sind alle drei Cevaschen Strecken , und gleich lang, so gilt:

Beweis

Im Folgenden seien

, und , wobei die kürzeste Cevasche Strecke sei.

Nach Umformung gilt dann:

, und . (4)

Die Strecken bzw. seien die Lote von auf bzw. von auf .

Damit sind die Dreiecke und ähnlich zueinander und es gilt nach dem Strahlensatz: .

Hieraus folgt für die Flächeninhalte:

, also: . (5)

In analoger Weise lässt sich zeigen: (6) und . (7)

Aus (4), (5), (6) und (7) ergibt sich:

, also .

(8)

Ist die längste Cevasche Strecke, so wird in (8) das Größerzeichen durch das Kleinerzeichen ersetzt.

Sind alle drei Cevaschen Strecken , und gleich lang, so wird in (8) das Größerzeichen durch das Gleichheitszeichen ersetzt.[1]

Commons: Ceva's theorem – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

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  1. Ross Honsberger: Gitter - Reste - Würfel Friedrich Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1984, ISBN 978-3-528-08476-9, S. 109–111