Dualer Kegel

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Der duale Kegel ist ein spezieller Kegel, der jedem Kegel zugeordnet werden kann. Er spielt beispielsweise bei den Dualitätsaussagen der Lagrange-Dualität in der mathematischen Optimierung eine Rolle. Er ist eng mit dem polaren Kegel verwandt.

In Hilberträumen

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Gegeben sei ein Hilbertraum (also ein vollständiger Vektorraum mit Skalarprodukt ) und ein Kegel in diesem Vektorraum. Dann heißt die dem Kegel zugeordnete Menge

der duale Kegel von . Anschaulich sind dies dann alle Vektoren, die mit allen Elementen des Kegels einen Winkel von höchstens 90° einschließen. Gelegentlich wird der duale Kegel auch mit oder bezeichnet.

Allgemeiner Fall

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Ist der Dualraum von und ist ein Kegel in , dann ist der duale Kegel definiert durch

Dabei bezeichnet die duale Paarung, das heißt, es gilt .

Teilweise wird schon in unvollständigen Prähilberträumen die erste Form der Definition verwendet, um die entstehenden Mengen als Kegel im Ursprungsraum auffassen zu können.

Verwandte Begriffsbildungen

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Analog lässt sich der Begriff des polaren Kegels formulieren:

In einem Hilbertraum gilt dann:

Das ist die Menge aller Vektoren, die mit allen Kegelelementen einen Winkel von mindestens 90° haben und deshalb gilt

Für beide Versionen der Definition ergibt sich die Beziehung im jeweiligen Vektorraum. Dies lässt sich auch als Definition nutzen.

Selbstdualer Kegel

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Ein Kegel heißt selbstdual, wenn gilt.

Gelegentlich wird der duale Kegel wie der polare Kegel definiert und umgekehrt, hier ist die Literatur nicht eindeutig. Es gilt also die Richtung der Ungleichung zu beachten.

Betrachtet man in versehen mit dem Standardskalarprodukt den Kegel mit , so ist der duale Kegel die rechte Halbebene . Ist nämlich , so ist und dies soll sein für alle , daher muss sein.

Entsprechend der obigen Identität ist dann der polare Kegel die linke Halbebene.

Versieht man den mit dem Skalarprodukt , wobei die symmetrische positiv definite Matrix

ist, so ist der duale Kegel

.

Dies ist die Halbebene, die von der Geraden begrenzt wird und den ersten Quadranten enthält. Das verwendete Skalarprodukt ist also ausschlaggebend für die Erzeugung des dualen (und polaren) Kegels.

Ein Beispiel für einen selbstdualen Kegel ist .