Finsler-Mannigfaltigkeit

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In der Geometrie sind Finsler-Mannigfaltigkeiten eine Verallgemeinerung riemannscher Mannigfaltigkeiten.

Sie sind nach Paul Finsler benannt.

Eine Finsler-Mannigfaltigkeit ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer außerhalb des Nullschnitts glatten Funktion so dass für alle gilt:

  • mit Gleichheit nur für
  • für alle
  • .

Hierbei bezeichnet den Tangentialraum der Mannigfaltigkeit im Punkt und das Tangentialbündel von also die disjunkte Vereinigung aller Tangentialräume.

Die Finsler-Mannigfaltigkeit heißt symmetrisch falls für alle gilt.

  • Normierte Vektorräume, wenn die Norm außerhalb des Nullvektors glatt ist.
  • Riemannsche Mannigfaltigkeiten : setze .
  • Konvexe Mengen mit der Hilbert-Metrik : setze für .

Länge und Volumen

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Die Länge einer stetig differenzierbaren Kurve ist definiert durch

.

Die Volumenform einer -dimensionalen Finsler-Mannigfaltigkeit ist wie folgt definiert. Sei , eine Basis von , die duale Basis. Sei das euklidische Volumen von . Die Volumenform ist dann gegeben durch

,

wobei das euklidische Volumen der Einheitskugel im bezeichnet. Das Busemann-Volumen einer messbaren Menge ist definiert durch .